Question

在△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的圓交斜邊AB于點(diǎn)P．E是BC的中點(diǎn)，連接PE．
（1）如果圓O的半徑為2，∠B=30°，求OE的長(zhǎng)；
（2）求證：PE是⊙O的切線．

Answer 1

解：（1）∵圓O的半徑為2，
∴AC=4．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=8．
∵E是BC的中點(diǎn)，OA=OC，
∴OE=4；

證明：（2）連接OP．
∵E是BC的中點(diǎn)，OA=OC，
∴OE∥AB，
∴∠AP0=∠POE，∠A=∠EOC，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠POE=∠COE，
∵OP=OC，OE=OE，
∴△POE≌△COE．
∴∠OPE=∠ACB=90°．
∴PE是⊙O的切線．
分析：（1）根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線定理求得OE的長(zhǎng)；
（2）要證PE是⊙O的切線，只要連接OP，證明△POE≌△COE，得出∠EPO=90°即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查切線的判定，要證某直線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．此題同時(shí)綜合運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理．