【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BC是經(jīng)過(guò)⊙H的圓心,交⊙H于點(diǎn)D、E,AB、AC是圓的切線,F、G是切點(diǎn).
(1)求證:BH=CH;
(2)填空:①當(dāng)∠FHG= 時(shí),四邊形FHCG是平行四邊形;
②當(dāng)∠FED= 時(shí),四邊形AFHG是正方形.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①90°;②22.5°
【解析】
(1)證明△BFH≌△CGH可得結(jié)論.
(2)①當(dāng)∠FHG=90°時(shí),四邊形FHCG是平行四邊形.分別證明FG∥CH,FH∥CG即可.
②當(dāng)∠FED=22.5°時(shí),四邊形AFHG是正方形.連接EF,首先證明∠AFH=∠FHG=∠AGH=90°,推出四邊形AFHG是矩形,再根據(jù)HF=HG推出四邊形AFHG是正方形.
(1)證明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵AB、AC是⊙H的切線,
∴∠BFH=∠CGH=90°.
∵HF=HG,
∴△BFH≌△CGH(AAS),
∴BH=CH.
(2)解:①當(dāng)∠FHG=90°時(shí),四邊形FHCG是平行四邊形.
理由:∵△BFH≌△CGH(已證),
∴BF=CG,
∵AB=AC,
∴AF=AG,
∴∠AFG=∠AGF,
∵∠B=∠C,∠A+2∠AGF=180°,∠A+2∠C=180°,
∴∠AGF=∠C,
∴,
∵AC是⊙H的切線,
∴AC⊥HG,
∴∠FHG=∠CGH=90°,
∴,
∴四邊形FHCG是平行四邊形.
②當(dāng)∠FE D=22.5°時(shí),四邊形AFHG是正方形.
理由:如圖1中,連接EF.
,
,
∴∠FHD=2∠FED=45°,
∵△BFH≌△CGH(已證),
∴∠FHB=∠GHC=45°,
∴∠FHG=90°,
∵AB,AC是⊙H的切線,
∴AB⊥HF,AC⊥HG,
∴∠AFH=∠AGH=90°,
∴四邊形AFHG是矩形,
∵HF=HG,
∴四邊形AFHG是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在射線OM上,OP=2,移動(dòng)直角三角板,兩邊分別交射線OA,OB與點(diǎn)C,D.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)C、D都不與點(diǎn)O重合時(shí),求證:PC=PD;
(2)聯(lián)結(jié)CD,交OM于E,設(shè)CD=x,PE=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖,若三角板的一條直角邊與射線OB交于點(diǎn)D,另一直角邊與直線OA,直線OB分別交于點(diǎn)C,F,且△PDF與△OCD相似,求OD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“一帶一路”倡議下,我國(guó)已成為設(shè)施聯(lián)通,貿(mào)易暢通的促進(jìn)者,同時(shí)也帶動(dòng)了我國(guó)與沿線國(guó)家的貨物交換的增速發(fā)展,如圖是湘成物流園2016年通過(guò)“海、陸(汽車)、空、鐵”四種模式運(yùn)輸貨物的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解決下面的問(wèn)題:
(1)該物流園2016年貨運(yùn)總量是多少萬(wàn)噸?
(2)該物流園2016年空運(yùn)貨物的總量是多少萬(wàn)噸?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)求條形統(tǒng)計(jì)圖中陸運(yùn)貨物量對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(﹣2,﹣3)和點(diǎn)E(3,2),點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線DE和拋物線的表達(dá)式;
(2)在y軸上取點(diǎn)F(0,1),連接PF,PB,當(dāng)四邊形OBPF的面積是7時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),直線DE上存在兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方),且MN=2,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā),沿P→M→N→A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD,并且始終保持AE=AD,連接CE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)若AF平分∠DAE交BC于F,探究線段BD,DF,FC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)在(2)的條件下,若BD=3,CF=4,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、C(0,3)、B(2,3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的最大值;
(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?如果存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由(4個(gè)坐標(biāo)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】五一期間,某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,已知購(gòu)進(jìn)甲商品1件和乙商品3件共需240元;購(gòu)進(jìn)甲商品2件和乙商品1件共需130元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場(chǎng)決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿足市場(chǎng)需求,需購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍,請(qǐng)你求出獲利最大的進(jìn)貨方案,并確定最大利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)與一次函數(shù)在第三象限交于點(diǎn).點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,0),點(diǎn)是軸左側(cè)的一點(diǎn).若以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)y=(k≠0)圖象上的兩點(diǎn),延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)B為線段AC中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,點(diǎn)E為線段OD的三等分點(diǎn),且OE<DE.連接AE、BE,若S△ABE=7,則k的值為( )
A.﹣12B.﹣10C.﹣9D.﹣6
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