Question

10．平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為6的正方形OABC放置如圖（1），現(xiàn)將它繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜45）交直線y=x于M，BC交于x軸于N．

（1）如圖（1）中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6）．圖（2）中∠MON=45度；
（2）如圖（2），當(dāng)MN∥AC時(shí)，①求證：AM=CN，②求n的值；
（3）如圖（3），設(shè)△BMN的周長(zhǎng)為p，問(wèn)：p的值是否為常數(shù)？若是，請(qǐng)直接寫出p的值；若不是，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線y=x可得出∠MON的度數(shù)；
（2）①先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，再由MN∥AC即可得出結(jié)論；
②解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子即可．

解答 （1）解：∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為6的正方形，
∴OC=BC=6，
∴B（6，6）；
∵正方形OABC交直線y=x于M，
∴∠MON=45°．
故答案為：（6，6），45；

（2）①證明：∵四邊形OABC是正方形，
∴AB=BC．
∵M(jìn)N∥AC，
∴BM=BN，
∴AM=CN；

②解：∵M(jìn)N∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠OAM=∠OCN\\ AM=AN\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠MON）=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，n=22.5°；

（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，P值無(wú)變化．
證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，
則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠AOE=∠CON\\ OA=OC\\∠EAO=∠NOC=90°\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OE=ON\\∠EOM=∠NOM=45°\\ OM=OM\end{array}\right.$，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=12．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，P值無(wú)變化．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是四邊形綜合題，涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意求一些線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù)，總要整理到已知線段的長(zhǎng)度上或已知角的度數(shù)上進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．