【題目】如圖,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,點E,F分別在AC,BC上運動,(點E不與點A,C重合),且保持AE=CF,連接DE,EF,再次運動變化過程中,有下列結論:①四邊形CEDF有可能成為正方形;②△DFE是等腰直角三角形;③四邊形CEDF的面積是定值.其中正確的結論是:______________.
【答案】①②③
【解析】
①連接CD,當E為AC中點,F為BC中點時,四邊形CEDF為正方形;
②由SAS定理可證△CDF和△ADE全等,從而可證∠EDF=90°,DE=DF.所以△DFE是等腰直角三角形;
③由②△ADE≌△CDF,就有S△ADE=S△CDF,再通過等量代換就可以求出結論;
解:①連接CD,當E、F分別為AC、BC中點時,
∵△ABC是等腰直角三角形,D是AB的中點,
∴△ACD和△BCD均為等腰直角三角形,
∴DF=DE=CE=CF,
∵∠ACB=90°,
∴四邊形CDFE是正方形,故此選項正確;
②∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB;
∵在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS);
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA;
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△DFE是等腰直角三角形.故此選項正確;
③∵△ADE≌△CDF,
∴S△ADE=S△CDF.
∵S四邊形CEDF=S△CED+S△CFD,
∴S四邊形CEDF=S△CED+S△AED,
∴S四邊形CEDF=S△ADC.
∴四邊形CEDF的面積是定值4,故本選項正確;
故答案為:①②③.
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【題目】(本小題滿分9分)如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,連結AP并延長AP交CD于F點,
(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;
(2)若△AEP是等邊三角形,連結BP,求證:△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的邊AB=6,BC=4,求△CPF的面積.
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【題目】已知四邊形ABCD為矩形,對角線AC、BD相交于點O,AD=AO.點E、F為矩形邊上的兩個動點,且∠EOF=60°.
(1)如圖1,當點E、F分別位于AB、AD邊上時,若∠OEB=75°,求證:DF=AE;
(2)如圖2,當點E、F同時位于AB邊上時,若∠OFB=75°,試說明AF與BE的數(shù)量關系;
(3)如圖3,當點E、F同時在AB邊上運動時,將△OEF沿OE所在直線翻折至△OEP,取線段CB的中點Q.連接PQ,若AD=2a(a>0),則當PQ最短時,求PF之長.
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【題目】2019年12月以來,湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染。腥菊叩呐R床表現(xiàn)為:以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn).約半數(shù)患者多在一周后出現(xiàn)呼吸困難,嚴重者快速進展為急性呼吸窘迫綜合征、膿毒癥休克、難以糾正的代謝性酸中毒和出凝血功能障礙.國家衛(wèi)健委已發(fā)布1號公告,將新型冠狀病毒感染的肺炎納入傳染病防治法規(guī)定的乙類傳染病,但采取甲類傳染病的預防、控制措施,同時將其納入檢疫傳染病管理.
(1)在“新冠”初期,有2人感染了“新冠”,經(jīng)過兩輪傳染后共有288人感染了“新冠”(這兩輪感染均未被發(fā)現(xiàn)未被隔離),則每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?
(2)某小區(qū)物管為預防業(yè)主感染傳播購買型和型兩種口罩,購買型口罩花費了2500元,購買型口罩花費了2000元,且購買型口罩數(shù)量是購買型口罩數(shù)量的2倍,已知購買一個型口罩比購買一個型口罩多花3元則該物業(yè)購買、兩種口罩的單價為多少元?
(3)由于實際需要,該物業(yè)決定再次購買這兩種口罩,已知此次購進型和型兩種口罩的數(shù)量一共為1000個,恰逢市場對這兩種口罩的售價進行調整,型口罩售價比第一次購買時提高了,型口罩按第一次購買時售價的1.5倍出售,如果此次購買型和型這兩種口罩的總費用不超過7800元,那么此次最多可購買多少個型口罩?
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【題目】南海是我國的南大門,如圖所示,某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進行常態(tài)化巡航,在A處測得北偏東30°方向上,距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行,便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查,經(jīng)過一段時間后,在C處成功攔截不明船只,問我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里(最后結果保留整數(shù))?
(參考數(shù)據(jù):cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732, =1.732, =1.414)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,cosB=點M、N分別是邊BC和AC上的兩個動點,點M以2cm/s的速度沿C→B方向運動,同時點N以1cm/s的速度沿A→C方向運動,當其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設運動時間為t,四邊形ABMN的面積為S,則下列能大致反映S與t函數(shù)關系的圖象是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在矩形中,點E為的中點,連接,過點D作于點F,過點C作于點N,延長交于點M.
(1)求證:
(2)連接CF,并延長CF交AB于G
①若,求的長度;
②探究當為何值時,點G恰好為AB的中點.
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【題目】我們知道:頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角,一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半.類似地,我們定義:頂點在圓外,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓外角.
(1)判斷:圖中有沒有圓外角?如果有,請用字母表示出來.
(2)運用所學的數(shù)學知識,探究:圓外角的度數(shù)與它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)有什么關系?將你的發(fā)現(xiàn),用文字表述出來,并說明理由.
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【題目】大學畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè),開了一家小商品超市.已知超市中某商品的進價為每件20元,售價為每件30元,每個月可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每個月就會少賣出10件,但每件售價必須低于34元,設每件商品的售價上漲元(為非負整數(shù)),每個月的銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(2)利用函數(shù)關系式求出每件商品的售價為多少元時,每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)利用函數(shù)關系式求出每件商品的售價定為多少元時,每個月的利潤恰好是1920元?這時每件商品的利潤率是多少?
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