Question

20．如圖，拋物線y=ax²+2x與x軸交于點B，其對稱軸為x=3．
（1）求a的值和頂點A的坐標；
（2）過點O作直線l，使l∥AB，點P是l上一動點，設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為t，當0＜S≤18時，求t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當t取最大值時，拋物線上是否存在點Q，使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)拋物線的對稱性得到B（6，0），將點B的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到拋物線的解析式，將點A的橫坐標代入可求得點A的縱坐標；
（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，從而得到直線l的解析式，于是得到點P坐標為（t，-t）．當點P在第四象限時，由S=S_△ABO+S_△OBP得到S與t的函數(shù)關系，然后由S的取值范圍可求得t的范圍；當點P在第二象限時，（t＜0），過點P作PM⊥x軸，垂足為M，由S=S_梯形ANMP-S_△PMO+S_△ABN得到S與t的關系式，從而可求得t的取值范圍；
（3）由（2）可知t的最大值為3，于是可求得點P的坐標，分別過點O和點P作l的垂線，交拋物線與點Q₁、Q₂、Q₃，接下來，求得OQ₃、Q₁Q₂的解析式，最后將直線與拋物線的解析式聯(lián)立可解得點Q₁、Q₂、Q₃的坐標．

解答 解：（1）∵點B與點O關于x=3對稱，
∴B（6，0）．
∴36a+12=0，解得a=-$\frac{1}{3}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+2x．
當x=3時，y=-$\frac{1}{3}$×9+2×3=3．
∴頂點A的坐標為（3，3）．
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=6．
∴直線AB的解析式為y=-x+6．
∵直線l與AB平行，
∴直線l的解析式為y=-x．
∵點P是l上一動點且橫坐標為t，
∴點P坐標為（t，-t）．
當點P在第四象限時，（t＞0）如圖1所示．

S=S_△ABO+S_△OBP=$\frac{1}{2}$×6×3+$\frac{1}{2}$×6×t=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18．
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
當點P在第二象限時，（t＜0），如圖2所示：過點P作PM⊥x軸，垂足為M．

S=S_梯形ANMP-S_△PMO+S_△ABN=$\frac{1}{2}$（3-t）（3-t）-$\frac{1}{2}$×（-t）×（-t）+$\frac{1}{2}$×3×3=-3t+9．
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18．
∴-3≤t＜3．
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0．
綜上所述，t的取值范圍是-3≤t＜0或0＜t≤3．
（3）當t=3時，點P的坐標為（3，-3）．

如圖3所示：過點P作Q₁Q₂⊥OP，交拋物線與Q₁，Q₂兩點，過點O作OQ₃⊥OP交拋物線與Q₃．
∵直線l的解析式為y=-x，
∴直線OA的解析式y(tǒng)=x．
將y=x與y=-$\frac{1}{3}$x²+2x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）
∴Q3的坐標為（3，3）．
設Q₁Q₂的解析式為y=x+b，將點P的坐標代入得：3+b=-3，
解得b=-6，
∴直線Q₁Q₂的解析式為y=x-6．
將y=x-6與y=-$\frac{1}{3}$x²+2x聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-6}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴Q₁（-3，-9），Q₂（6，0）．
綜上所述點Q的坐標為（3，3）或（-3，-9）或（6，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，不規(guī)則圖形的面積、直線與拋物線的交點，得到S與t的函數(shù)關系式是解答問題（2）的關鍵，求得直線OQ₃、Q₁Q₂的解析式是解答問題（3）的關鍵．