Question

【題目】△ABC中，點(diǎn)O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN∥BC，若MN交∠BCA的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠DCA的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AE、AF.

（1）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形,并說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】(1)6.5；(2)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)性質(zhì)得到∠FCE=90°，OE=OC=OF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得到OC=EF，根據(jù)勾股定理求出EF，即可求出AC；

(2)由(1)得出的EO=CO=FO，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則有EO=CO=FO=AO，所以這時(shí)四邊形AECF是矩形．

解：(1)∵MN交∠BCA的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠DCA的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，

∴∠OCE=∠ECB，∠OCF=∠FCD，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD，

∴∠OEC=∠OCE，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF，

∵∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴∠OEC+∠OFC=∠OCE+∠OCF=90°.

∵CE=12，CF=5，

∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.

理由：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO.

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形.

故答案為：(1)6.5；(2)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.