Question

閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點(diǎn)P在AB邊上，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，則PE+PF=OA．（此結(jié)論不必證明，可直接應(yīng)用）

（1）【理解與應(yīng)用】
如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在AB邊上，PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，則PE+PF的值為

 

．
（2）【類比與推理】
如圖3，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，AD=3，點(diǎn)P在AB邊上，PE∥OB交AC于點(diǎn)E，PF∥OA交BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值；
（3）【拓展與延伸】
如圖4，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，過點(diǎn)C，D的切線CH，DG相交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在弦AB上，PE∥BC交AC于點(diǎn)E，PF∥AD于點(diǎn)F，當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等邊三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),弦切角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）易證：OA=OB，∠AOB=90°，直接運(yùn)用閱讀材料中的結(jié)論即可解決問題．
（2）易證：OA=OB=OC=0D=

5

2

，然后由條件PE∥OB，PF∥AO可證△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，從而可得

EP

OB

+

FP

OA

=

AP

AB

+

BP

AB

=1，進(jìn)而求出EP+FP=

5

2

．
（3）易證：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．

解答：解：（1）如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=2

2

．
∴OA=

2

．
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA=

2

．

（2）如圖3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴BD=5．
∴OA=OB=OC=OD=

5

2

．
∵PE∥OB，PF∥AO，
∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴

EP

OB

=

AP

AB

，

FP

OA

=

BP

AB

．
∴

EP

OB

+

FP

OA

=

AP

AB

+

BP

AB

=1．
∴

EP

5 2

+

FP

5 2

=1．
∴EP+FP=

5

2

．
∴PE+PF的值為

5

2

．

（3）當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF是定值．
理由：連接OA、OB、OC、OD，如圖4
∵DG與⊙O相切，
∴∠GDA=∠ABD．
∵∠ADG=30°，
∴∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形．
∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴

PE

BC

=

AP

AB

，

PF

AD

=

PB

AB

．
∴

PE

BC

+

PF

AD

=

AP

AB

+

PB

AB

=1．
∴

PE

4

+

PF

4

=1．
∴PE+PF=4．
∴當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時(shí)，PE+PF=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了類比聯(lián)想的能力，由一定的綜合性．要求PE+PF的值，想到將相似所得的比式相加是解決本題的關(guān)鍵．