Question

（2010•羅湖區(qū)模擬）如圖，拋物線y=x²-2與直線y=x相交于點(diǎn)A、B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值；
（3）直線l垂直于x軸，與拋物線交于C，與直線AB交于點(diǎn)D，直線l在A、B兩點(diǎn)之間移動(dòng)，求線段CD的最大值；
（4）點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存以P，A，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式即可求出A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）得出的A、B的坐標(biāo)（此時(shí)兩函數(shù)值相等），以及兩函數(shù)的圖象即可得出x的取值范圍．（或者令直線的表達(dá)式大于拋物線的表達(dá)式，可得出一個(gè)關(guān)于x的不等式方程，解方程后即可得出x的取值范圍．）
（3）線段DC表示的是一次函數(shù)的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值之間的差的絕對值，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于DC的長和D點(diǎn)橫坐標(biāo)（或C點(diǎn)橫坐標(biāo)）的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出DC的最大值．
（4）根據(jù)A（-1，1），M（0，-2）可得出三角形MOA是個(gè)等腰直角三角形，因此∠MAO=90°，本題可分四種情況討論：
當(dāng)P在線段AB上時(shí)，
①當(dāng)∠APM=∠ABM時(shí)，△BAM∽△PAM，此時(shí)P，B重合，P（2，2）．
②當(dāng)∠AMP=∠ABM時(shí)，△APM∽△AMB，此時(shí)，據(jù)此可求出AP的長，即可求出OP的值，據(jù)此可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
當(dāng)P在BA的延長線上時(shí)，也分兩種情況，解法同①②．
因此本題共有4個(gè)符合條件的P點(diǎn)．
解答：解：（1）由．
得：，
所以A（-1，-1），B（2，2）；

（2）當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值；

（3）由條件可設(shè)點(diǎn)C（x，x²-2），點(diǎn)D（x，x），
那么CD=x-（x²-2）=-（x-）²+，且-1＜x＜2；
所以當(dāng)x=時(shí)，CD最大=．
因x=在-1＜x＜2范圍內(nèi)．
所以線段CD的最大值是．

（4）P（-4，-4）、P（2，2）、P（-，-）或P（-，-）．
點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動(dòng)態(tài)問題、存在性問題．能力要求較高，要注意（4）題中，P點(diǎn)是在直線AB上運(yùn)動(dòng)，而不是線段AB，因此要把所有的情況都考慮到，不要漏解．