Question

20．如圖，AB切⊙O于B，BC⊥AO于C，AO交⊙O于D，BO=2，AO=8，P是弧BD上任一點，設k=$\frac{PA}{PC}$，問k的值是否隨點P的移動而變化？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 k的值是不會隨點P的移動而變化，連接OP，證明△AOB～△BOC，得到$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，根據(jù)OP=OB，所以$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OC}$，再證明△AOP∽△POC，得到$\frac{PA}{PC}=\frac{OA}{OP}$，即可解答．

解答 解：k的值是不會隨點P的移動而變化，
如圖，連接OP，

∵AB切⊙O于B，
∴∠AB0=90°，
∵BC⊥AO，
∴∠BCO=90°，
∴△AOB～△BOC，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，
∵OP=OB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OC}$，
∵∠AOP=∠POC，
∴△AOP∽△POC，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{OA}{OP}$，
∴k=$\frac{PA}{PC}=\frac{OA}{OP}=\frac{OA}{OB}=\frac{8}{2}$=4．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明三角形相似．