Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D不重合時(shí)，以EP、ED為鄰邊作?EDFP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求AB長．
（2）當(dāng)∠DPF=∠PFD時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，設(shè)?EDFP與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）連結(jié)AF，當(dāng)△AFD的面積與△PDE的面積相等時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖1中，當(dāng)∠DPF=∠PFD時(shí)，可以證明PE∥AB，PC=PD，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形①當(dāng)0≤t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，如圖2中，作PM⊥DE存在為M，此時(shí)重疊部分面積就是平行四邊形PEDF的面積，②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t＜5時(shí)，如圖3中，此時(shí)y=S_△PHD+S_△PDE．
（4）兩種情形①t=O時(shí)，△ADF與△PDE面積相等．②如圖4中，當(dāng)A、P、E共線時(shí)△ADF與△PDE面積相等，由DE∥AC得$\frac{DE}{AC}$=$\frac{PD}{PC}$，求出PC即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（4\sqrt{5}）^{2}}$=10．
（2）如圖1中，∵四邊形PEDF是平行四邊形，
∴PF∥DE，PE∥DF，
∴∠DPF=∠PDE，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DB=DA=5，∵CE=EB，
∴DE⊥BC，∠CDE=∠EDB
∵∠DPF=∠PFD，
∴∠PED=∠BDE，
∴PE∥DB，∵CE=EB，
∴PC=PD=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$．
（3）①當(dāng)0≤t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，如圖2中，作PM⊥DE存在為M，
∵PM∥CE，
∴$\frac{PM}{CE}$=$\frac{DP}{DC}$，
∴$\frac{PM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴Y=DE•PM=$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t）=-2t+10．
②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t＜5時(shí)，如圖3中，∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{DP}{CD}$，
∴$\frac{PH}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴y=S_△PHD+S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PH•PM+$\frac{1}{2}$（-2t+10）=$\frac{2}{5}$t²-5t+15，
綜上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+10}&{（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-5t+15}&{（\frac{5}{2}＜t＜5）}\end{array}\right.$．
（4）①t=O時(shí)，△ADF與△PDE面積相等．
②如圖4中，當(dāng)A、P、E共線時(shí)，
∵AE∥DF，△ADF與△PDF同底等高，
∴S_△ADF=S_△PDF，
∵四邊形PFDE是平行四邊形，
∴S_△PED=S_△PDF，
∴S_△ADF=S_△PDE，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴t=0或$\frac{10}{3}$時(shí)，△ADF與△PDE面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題，平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，正確畫出圖形，掌握同底等高的三角形面積相等，屬于中考�？碱}型．