Question

在△ABC中，∠B=2∠C，AD為∠A的角平分線，mAB=nBD（n＞m＞0），則cosC=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：延長BK使BK=AB，過AH⊥BD于H，根據(jù)正弦定理和角平分線的定理以及余弦的定義即可求出cosC．

解答：解：延長BK使BK=AB，過AH⊥BD于H，
∵∠B=2∠C，
∴△ABK，△AKC為等腰三角形，
∴H為中點，
∵mAB=nBD，不妨設(shè)AB=n，BD=m，
則BH=ABcos2θ=mcos2θ
由正弦定理得

AB

sinθ

=

AC

sin2θ

，
∴AC=2ncosθ
由角平分線定理知道CD=2mcosθ，
∵H是中點，
∴n+ncos2θ=

1

2

（m+2mcosθ），
即4ncos²θ-2mcosθ-（m+n）=0，
解得cosθ=

m+n

2n

，
故答案為：

m+n

2n

點評：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、正弦定理、角平分線定理以及三角形的外角和定理，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．