Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸相交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)M(0，m)為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線，其中B、C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為B'、C'．

（1）若a=1，求原拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）條件下，當(dāng)四邊形BCB'C'的面積為40時(shí)，求m的值；

（3）探究a滿足什么條件時(shí)，存在點(diǎn)M，使得四邊形BCB'C'為菱形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=4或m=﹣16；（3）a≥時(shí)，存在點(diǎn)M，使得四邊形BCB'C'為菱形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)原拋物線中a=1，并且經(jīng)過，，即可求出原拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）條件下，連接、，延長，與軸交于點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形，面積為40，即可求的值；

（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)，應(yīng)有，故點(diǎn)在、之間，當(dāng)時(shí)，，得．由二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，，，可得，，，，進(jìn)而列出一元二次方程，根據(jù)判別式即可求出滿足的條件．

解：（1）拋物線中a=1，并且經(jīng)過，，題意得：，

解得，

原拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；

（2）連接、，延長，與軸交于點(diǎn)，

二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，

，

，

直線的解析式為：．

，

拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，

或；

（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

當(dāng)平行四邊形為菱形時(shí)，應(yīng)有，故點(diǎn)在、之間，

當(dāng)時(shí)，，

，

即．

二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，，，

，，，，

，

，

△，，

．

所以時(shí)，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形．