Question

【題目】正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF.

（1）如圖1，若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG，則EF與FG關(guān)系為：　 　；

（2）如圖2，若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得到線段FQ，連接EQ，請(qǐng)猜想EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若點(diǎn)P為CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系： 　 　.

Answer 1

【答案】解：（1）垂直且相等。

（2）EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為：。

證明如下：

如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，

由（1）得EF=FG，EF⊥FG，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，F(xiàn)P=FQ，∠PFQ =90°。

∴∠GFP=∠GFE—∠EFP=90°—∠EFP，

∠EFQ=∠PFQ—∠EFP=90°—∠EFP。

∴∠GFP=∠EFQ。

在△FQE和△FPG中，∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，F(xiàn)Q = FP，

∴△FQE≌△FPG（SAS）。∴EQ=GP。

∴。

（3）補(bǔ)圖如下，F(xiàn)、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為：。

【解析】

試題分析：（1）EF與FG關(guān)系為垂直且相等（EF=FG且EF⊥FG）。證明如下：

∵點(diǎn)E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點(diǎn)，

∴△AEF和△BGD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形。

∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°。∴∠EFG=90°，即EF⊥FG。

（2）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，則由SAS易證△FQE≌△FPG，從而EQ=GP，因此。

（3）同（2）可證△FQE≌△FPG（SAS），得EQ=GP，因此，

。