【題目】問題情境

在綜合實踐課上,同學(xué)們以正方形和直線的旋轉(zhuǎn)為主題分組開展數(shù)學(xué)探究活動,已知正方形ABCD,直線PQ經(jīng)過點A,并繞點A旋轉(zhuǎn),作點B關(guān)于直線PQ的對稱點E,直線DE交直線PQ于點F,連結(jié)AEBE

操作發(fā)現(xiàn)

1)如圖1,設(shè)∠PAB=25°則∠ADF=   °

2)“夢想小組”的同學(xué)們發(fā)現(xiàn),∠BEF的度數(shù)是一個定值,這個值為   

3)“創(chuàng)新小組”的同學(xué)們發(fā)現(xiàn),線段AB、DFEF之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系,請寫出這一關(guān)系式,并說明理由:

拓展應(yīng)用

4)如圖2,當(dāng)直線PQ在正方形ABCD的外部時,進(jìn)取小組的同學(xué)們發(fā)現(xiàn)(3)的結(jié)論仍然成立,并提出新問題;若DF=3EF=4,直接寫出正方形ABCD的邊長.

【答案】(1)70°;(2)45°;(3)EF2+DF2=2AB2,詳見解析;(45

【解析】

1)利用折疊得出∠BAP=EAP=25°,進(jìn)而求出∠BAE=50°,即可得出結(jié)論;

2)設(shè)∠BAP=α,先求出∠AED=45°+α,再求出∠AEB,即可得出結(jié)論;

3)利用(2)判斷出∠BFE=90°,即△BDF是直角三角形,利用勾股定理即可得出結(jié)論;

4)先判斷出∠AED=ABF,再判斷出∠AED=ADE,即可得出∠BFD=90°,即可得出結(jié)論.

解:(1)∵∠PAB=25°,

由折疊知,∠PAB=EAP=25°,

∴∠BAE=50°

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=90°

∴∠DAE=40°,

∴∠ADF=180°40°=70°

2)設(shè)∠BAP=α,

由折疊知,AE=AD,∠EAF=BAF=α,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,∠BAD=90°,

AD=AE,∠DAE=90°﹣∠BAE=90°

∴∠AED=180°﹣∠DAE=90°DAE=90°90°=45°+α,

由折疊知,BEAP,

∴∠AEB+EAF=90°,

∴∠AEB=90°﹣∠EAF=90°α,

∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣(90°α)﹣(45°+α=45°,

故答案為:45°;

3EF2+DF2=2AB2

理由:如圖1,連接BF,

由折疊知,BF=EF,∠BEF=EBF,

由(2)知,∠BEF=45°

∴∠BFE=90°,

連接BD

∴△BDF是直角三角形,

BD2=BF2+DF2=EF2+DF2,

BD是正方形ABCD的對角線,

BD2=2AB2,

EF2+DF2=2AB2;

4)如圖2,連接BDBF,

由折疊知,∠BEF=EBF,∠AEB=ABE,

∴∠AED=ABF,

由折疊知,EF=BF,AE=AB

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=90°AB=AD,

AE=AD,

∴∠AED=ADE,

∴∠ABF=ADE,

∵∠AOB=FOD

∴∠BFD=BAD=90°

∴△BDF是直角三角形,

BD2=BF2+DF2=EF2+DF2,

BD是正方形ABCD的對角線,

BD2=2AB2

EF2+DF2=2AB2

DF=,EF=

2AB2=32+18=50,

AB=5

即:正方形ABCD的邊長為5

練習(xí)冊系列答案
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1)請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明獲勝的概率;

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1)若AB=2

①如圖2,當(dāng)點B' 落在AC上時,求t的值;

是否存在異于圖2的時刻,使得△PCB是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的t值?若不存在,請說明理由.

2)若四邊形ABCD是正方形,直線PB'與直線CD相交于點M,當(dāng)點P不與點C重合時,求證:∠PAM=45°.

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2)以原點O為位似中心,在y軸的左側(cè)畫出△OAB的另一個位似△OA2B2,使它與△OAB的位似比為21,并寫出點B的對應(yīng)點B2的坐標(biāo).

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(1)按約定,“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個油餅”是 事件;(可能,必然,不可能)

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