某課題組在探究“泵站問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：
直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．
請利用上述模型解決下列問題：
（1）幾何應(yīng)用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；
（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；
（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點O，以直線O₁O₂為x軸，點O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，直線AB切⊙O₁于點B，切⊙O₂于點A，交y軸于點C（0，2），交x軸于點M．BO的延長線交⊙O₂于點D，且OB：OD=1：3．
（1）求⊙O₂半徑的長；
（2）求線段AB的解析式；
（3）在直線AB上是否存在點P，使△MO₂P與△MOB相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)與此時k=

S△MO2P

S   △MOB

的值，若不存在，說明理由．

如圖．直角梯形OABC的直角頂點O是坐標(biāo)原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上．OA∥BC，OA=4

2

，OC=

3

2

2

，
∠OAB=45°，D是BC上一點，CD=

3

2

2

．E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°，設(shè)OE=x，AF=y．
（1）AB=，BC=，∠DOE=；
（2）證明△ODE∽△AEF，并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)AF=EF時，將△AEF沿EF折疊，得到△A′EF，求△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積．

如圖，正方形ABCD的頂點C在反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)上，把該正方形ABCD繞其頂點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得四邊形A′B′CD′，A′D′邊恰好在x軸正半軸上，已知A（-1，6）．
（1）求k的值；
（2）若A′B′與y=

k

x

交于點E，求△BCE的面積．

如圖，平面直角坐標(biāo)系中的△ABO與⊙P，若P、A、B三點的坐標(biāo)分別為P（2，0）、A（0，2

3

）、B（-

3

，

3

），且⊙P的半徑為1，完成下列問題：
（1）將△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），使OA與⊙P相切，請在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′O，并求出旋轉(zhuǎn)角α的大��；
（2）在（1）的情況下求A′、B′的坐標(biāo)．

如圖，小明與小華爬山時遇到一條筆直的石階路，路的一側(cè)設(shè)有與坡面AB平行的護欄MN（MN=AB）．小明量得每一級石階的寬為32cm，高為24cm，爬到山頂后，小華數(shù)得石階一共100級，如果每一級石階的寬和高都一樣，且構(gòu)成直角，請你幫他們求出坡角∠BAC的大�。ň�確到度）和護欄MN的長度．
以下數(shù)據(jù)供選用：

tan36°52′12″=0.7500，tan53°7′48″=1.3333， sin36°52′12″=0.6000，sin53°7′48″=0.8000

．

A、 7 4

B、8-2 3

C、 25 4

D、6 2

課題學(xué)習(xí)
●探究：
（1）在圖1中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F(xiàn)．
①若A（-1，0），B（3，0），則E點坐標(biāo)為；
②若C（-2，2），D（-2，-1），則F點坐標(biāo)為；
（2）在圖2中，已知線段AB的端點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），求出圖中AB中點D的坐標(biāo)（用含a，b，c，d的
代數(shù)式表示），并給出求解過程．
●歸納：
無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個位置，當(dāng)其端點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y） 時，
x=，y=．（不必證明）
●運用：
在圖2中，y=|x-1|的圖象x軸交于P點．一次函數(shù)y=kx+1與y=|x-1|的圖象交點為A，B．
①求出交點A，B的坐標(biāo)（用k表示）；
②若D為AB中點，且PD垂直于AB時，請利用上面的結(jié)論求出k的值．