如圖，一根長度為50 cm的木棒AB的兩端系著一根長度為70 cm的繩子．現準備在繩子上找一點C，然后將繩子拉直，使拉直后的繩子與木棒構成一個直角三角形，則點C將繩子分成的兩段各有多長？

甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源．為了不致于走散，他們用兩部對話機聯系，已知對話機的有效距離為15千米．早晨8∶00甲先出發(fā)，并以6千米/時的速度向東行走，1小時后乙出發(fā)，并以5千米/時的速度向北行走，求上午10∶00，甲、乙兩人相距多遠？此時還能保持聯系嗎？

如圖，A、B兩個小鎮(zhèn)在河流CD同側，到河的距離分別為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米．現在要在河邊修建一個自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬元，請你在河岸上選擇修建水廠的位置P，使鋪設水管的費用最低，并求出最低費用．

如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底邊長為8 cm，腰長為5 cm．一動點P在底邊上從點B向點C以0.25 cm/s的速度移動．請你探究：當點P運動多長時間時，點P與頂點A的連線PA與腰垂直？

公園的長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的老人，旁邊站著兩位青年，他們在交談．

老人說：“我們倆的年齡的平方差是195．”不等老人說完，青年人就說：“真巧，我們倆的年齡的平方差也是195．”這時一對中年夫婦也湊過來說：“真是巧極了，我們倆的年齡的平方差也是195．”

假設x²－y²＝195，請你想一想，這三對人的年齡各是多少？

“中國結”大家都不陌生，悠久的歷史和漫長的文化沉淀使“中國結”蘊涵了中華民族特有的文化精髓．手工藝人編制時將不同的基本結加以組合，間配以飾物，便成為富含文化底蘊，表示美好祝福，形式精美華麗的工藝品了．

下圖是手工藝人用彩帶編制中國結飾品中的一個小環(huán)節(jié)：圖(1)是一條長方形彩帶，編制者要先量出∠DEF＝20°，并把折痕EF做上記號，再將彩帶沿EF折疊成圖(2)，最后沿GF折疊成圖(3)，這樣就完成了這個環(huán)節(jié)．那么你知道圖(3)中的∠CFE的度數嗎？動手試一試吧！

閱讀下列材料，回答問題：

材料：探照燈、蝸行天線、汽車燈以及很多燈具都與拋物線形狀有關，如圖(1)是一探照燈的燈碗，從側面上看，從位于E點的燈泡發(fā)出的兩束光線EA、EC經燈碗反射后平行射出，如果圖中的∠BAE＝α，∠DCE＝β，則∠AEC的度數應怎樣表示？

問題1：請求出材料中的∠AEC的度數．

問題2：愛動腦筋的小杰同學想：在圖(1)中的這三個角有這樣的特定關系，那么當點E在圖(2)－(4)這些位置時，且AB∥CD，∠BAE、∠DCE和∠AEC之間有什么關系呢？你能幫小杰同學解決這個問題嗎？請寫出這三幅圖中的規(guī)律，并選取其中的一個給予證明．