如圖所示，已知△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F，交BE于G，F(xiàn)D、AC的延長線交于H，求證：DF²＝FG·FH．

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G分別為AO、BO、CD的中點(diǎn)，∠BOC＝．求證：△EFG為等邊三角形．

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相互垂直，且AD＝m，BC＝n.求證：(m＋n)²＝4S_梯形ABCD

已知A為⊙O上一點(diǎn)，B為⊙A與OA的交點(diǎn)，⊙A與⊙O的半徑分別為r、R，且r＜R．如圖，過點(diǎn)B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點(diǎn)．求證：AM·AN＝2Rr．

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作CD⊥AB，分別交⊙O₁和⊙O₂于點(diǎn)C、D．

(1)如圖(1)，求證：AC是⊙O₁的直徑．

(2)若AC＝AD．

①如圖(2)，連結(jié)BO₂、O₁O₂，求證：四邊形O₁CBO₂是平行四邊形；

②若點(diǎn)O₂在⊙O₁外，延長O₂O₁交⊙O₁于點(diǎn)M，在劣弧上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合)．EB的延長線交優(yōu)弧于點(diǎn)F，如圖(3)所示．連結(jié)AE、AF．則AE________AB(請?jiān)跈M線上填上“≥”“≤”“＜”“＞”這四個(gè)不等號中的一個(gè))，并加以證明．

如圖，已知點(diǎn)A在⊙O上，PC交⊙O于B、C兩點(diǎn)．

(1)若PA是⊙O的切線，求證：PA²＝PB·PC；

(2)若PA²＝PB·PC，求證：PA是⊙O的切線．

如圖，PC切⊙O于點(diǎn)C，過圓心的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是PC上一點(diǎn)，且PF＝AF，F(xiàn)A的延長線交⊙O于點(diǎn)G．

求證：(1)∠FGD＝2∠PBC；

(2)．

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交直線BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．

(1)過點(diǎn)D作MN∥BC，求證：MN是⊙O的切線；

(2)求證：AB·AC＝AD·AE；

(3)如圖，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延長線于點(diǎn)E，EA的延長線交⊙O于點(diǎn)D．結(jié)論AB·AC＝AD·AE是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

如圖，已知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，點(diǎn)E在AB上，且EA＝EC．

(1)求證：AC²＝AE·AB；

(2)延長EC到點(diǎn)P，連結(jié)PB，若PB＝PE，試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

請看下列例題及解答：

[例]如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝6.5，BC＝5，求對角線AC的長．

解答：以D為圓心，AD的長為半徑作⊙D．顯然⊙D經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．延長CD交⊙D于點(diǎn)E，連結(jié)AE，根據(jù)本節(jié)《探究體驗(yàn)》可知四邊形ABCE為等腰梯形，故AE＝BC＝5．

∵CE為⊙D直徑，∴∠CAE＝90°．

在Rt△ACE中，CE＝2AD＝13，AE＝5．

∴AC＝＝12．

請構(gòu)造輔助圓解決下列問題：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，且∠DBC＝2∠BDC．求證：∠DAB＝3∠BAC．