數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題:

如圖，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，且AD=AC,M為AD中點(diǎn)，連結(jié)CM并延長(zhǎng)交AB于N.

探究線段AN、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，交流了自已的想法:

小明：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段AN、AB之間存在某種數(shù)量關(guān)系.”

小強(qiáng)：“通過(guò)倍長(zhǎng)不同的中線，可以得到不同的結(jié)論，但都是正確的，大家就大膽的探究吧.”

小偉：“通過(guò)構(gòu)造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問(wèn)題解決.”

......

老師: “若其他條件不變，設(shè)AB=a,則可以用含a的式子表示出線段CM的長(zhǎng).”

（1）探究線段AN、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）探究線段AN、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）設(shè)AB=a,求線段CM的長(zhǎng)（用含a的式子表示）.

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在BO上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AO于點(diǎn)E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，設(shè)矩形PEQF與△ABO重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)連結(jié)PQ，當(dāng)PQ與△ABO的一邊平行時(shí)，求t的值;

(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍.

（1）求證：PA是⊙O的切線;

（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的長(zhǎng).

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，如圖，請(qǐng)問(wèn)：在拋物線平移的過(guò)程中，線段CD的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1) 畫(huà)出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形△A1B1C1

(2) 畫(huà)出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2，直接寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo)為______.

(3) 若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P(m，n)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為______.

（1）求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè) OMN 的面積為 S，直線 l 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（0 ≤t ≤6 ），試求 S 與 t 的函數(shù)表達(dá) 式；

（3）在題（2）的條件下，t 為何值時(shí)，S 的面積最大？最大面積是多少．

①拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不論 a 為何值時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；

②拋物線 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加得到A點(diǎn)，若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上．

（1）請(qǐng)你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點(diǎn)所在直線的解析式，并證明結(jié)論②是正確的；

（2）問(wèn)題（1）中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來(lái)嗎，并說(shuō)明理由；

（3）你能把結(jié)論①或②（選擇其中之一）推廣到一般情況嗎，請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述你的成 果，并給予嚴(yán)格的證明．