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【題目】在直角梯形（如圖1），，，，，為線段中點.將沿折起，使平面平面，得到幾何體（如圖2）.

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過計算結合勾股定理的逆定理可以證明，再根據面面垂直的性質定理進行證明即可；

（2）法一、

取的中點連接，根據，結合三棱錐的體積公式進行求解即可；

法二、

取的中點連接，由題設可知為等腰直角三角形，所以面，連接，因為分別為和的中點，所以，由（1）可知，故以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示.運用向量法求解即可.

解：（1）由題設可知，，

∴∴

又∵平面平面，平面平面

∴面.

（2）法一、等體積法

取的中點連接，由題設可知為等腰直角三角形，所以面

∵且

而

∴到面的距離，

所以.

法二、向量法

取的中點連接，由題設可知為等腰直角三角形，所以面，連接，因為分別為和的中點，所以，由（1）可知，故以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，，，

∴

∴面的一個法向量

∴

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直線AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.

（1）求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）在線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

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【題目】設函數

（1）設，，證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；

（2）設，若對任意，有，求的取值范圍．

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【題目】三棱柱中，為的中點，點在側棱上，平面

(1) 證明：是的中點；

(2) 設,四邊形為邊長為4正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為，求該三棱柱的體積.

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【題目】隨著銀行業(yè)的不斷發(fā)展，市場競爭越來越激烈，顧客對銀行服務質量的要求越來越高，銀行為了提高柜員員工的服務意識，加強評價管理，工作中讓顧客對服務作出評價，評價分為滿意、基本滿意、不滿意三種．某銀行為了比較顧客對男女柜員員工滿意度評價的差異，在下屬的四個分行中隨機抽出40人（男女各半）進行分析比較．對40人一月中的顧客評價“不滿意”的次數進行了統(tǒng)計，按男、女分為兩組，再將每組柜員員工的月“不滿意”次數分為5組：，，，，，得到如下頻數分布表．

分組

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

（1）在答題卡所給的坐標系中分別畫出男、女柜員員工的頻率分布直方圖；分別求出男、女柜員員工的月平均“不滿意”次數的估計值，試根據估計值比較男、女柜員員工的滿意度誰高？

（2）在抽取的40名柜員員工中：從“不滿意”次數不少于20的員工中隨機抽取3人，并用X表示隨機抽取的3人中女柜員工的人數，求X的分布列和數學期望．

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【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；

（Ⅱ）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

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【題目】端午假期即將到來，永輝超市舉辦“濃情端午高考加油”有獎促銷活動，凡持高考準考證考生及家長在端年節(jié)期間消費每超過600元（含600元），均可抽獎一次，抽獎箱里有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球有3個，黑球有7個），抽獎方案設置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案.

方案一：

從抽獎箱中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球則打6折，若摸出1個紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折.

方案二：

從抽獎箱中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次

（1）若小南、小開均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求他們均享受免單優(yōu)惠的概率；

（2）若小杰消費恰好滿1000元，試比較說明小杰選擇哪一種抽獎方案更合算？

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【題目】東西向的鐵路上有兩個道口、,鐵路兩側的公路分布如圖,位于的南偏西,且位于的南偏東方向,位于的正北方向,,處一輛救護車欲通過道口前往處的醫(yī)院送病人,發(fā)現北偏東方向的處(火車頭位置)有一列火車自東向西駛來,若火車通過每個道口都需要分鐘,救護車和火車的速度均為.

（1）判斷救護車通過道口是否會受火車影響,并說明理由;

（2）為了盡快將病人送到醫(yī)院,救護車應選擇、中的哪個道口？通過計算說明.

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【題目】已知的三個內角，，所對的邊分別為，設，.

（1）若，求與的夾角；

（2）若，求周長的最大值.

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