Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

（2）設(shè)，若對(duì)任意，有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題（Ⅰ）函數(shù)y＝f(x)如果滿足：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，②f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)；方法：先利用零點(diǎn)的判定方法判斷存在性，再利用區(qū)間內(nèi)函數(shù)是單調(diào)的說(shuō)明唯一性

（Ⅱ）先對(duì)任意，都有，說(shuō)明最大值與最小值之差，然后在進(jìn)行分類討論

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，當(dāng)時(shí),1分

，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn) 2分

又設(shè)，，

即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 2分

在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn) 1分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，1分

對(duì)任意，都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差,1分 據(jù)此分類討論如下：

（1）、當(dāng)，即時(shí)，，與題設(shè)矛盾； 1分

（2）、當(dāng)，即時(shí)，恒成立； 1分

（3）當(dāng)，即時(shí)，恒成立 1分

綜上可得，，的取值范圍為1分