Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，且，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，二面角為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，可得，由平面平面得平面，所以，從而得平面，可得、為平行四邊形，所以，所以平面，再得到平面平面；

（Ⅱ）以為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面和平面的法向量，再利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，求出的值，從而得到的值.

（Ⅰ）取的中點，連接，，

∵，∴

∵是正方形，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面

又∵平面，∴

又平面，，

∴平面

∵，且，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴

∴平面，

又平面，∴平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，

設(shè)，，

∵，∴，，

則，，，

，

易知平面的一個法向量為

設(shè)為平面的法向量，由得，

令，得

∴，解得，

∴