Question

2．已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$，求l的方程．
變式1：點(diǎn)M和圓方程不變，截得弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程；
變式2：點(diǎn)M和圓方程不變，求截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線l的方程；
變式3：點(diǎn)M和圓方程不變，求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程；
變式4：點(diǎn)M和圓方程不變，當(dāng)直線把圓的周長(zhǎng)分為1：2兩部分時(shí)，求直線l的斜率；
變式5：點(diǎn)M改為（-2.5，-3），圓方程不變，當(dāng)直線把圓的周長(zhǎng)分為1：2兩部分，求l的方程．

Answer 1

分析 變式1：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)與圓的半徑，根據(jù)直線與圓的相交弦長(zhǎng)為8求得圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式確定直線的斜率，再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否符合．
變式2：此直線一定過(guò)圓心，故可以先求出圓心坐標(biāo)，然后再用兩點(diǎn)式寫出所求直線的方程；
變式3：當(dāng)直線被圓截得弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線與經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的直徑垂直，由此算出直線的斜率，即可得到所求直線的方程；
變式4：點(diǎn)M和圓方程不變，當(dāng)直線把圓的周長(zhǎng)分為1：2兩部分時(shí)，圓心角為$\frac{2π}{3}$，圓心到直線的距離為$\frac{5}{2}$，設(shè)直線的方程為y+3=k（x+3），利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可求得直線l的斜率；
變式5：點(diǎn)M改為（-2.5，-3），設(shè)直線的方程為y+3=k（x+2.5），利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，求得直線l的斜率，即可求得l的方程．

解答 解：變式1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+（y+2）²=25，
∴圓的圓心為（0，-2），半徑為R=5，
設(shè)過(guò)點(diǎn)（-3，3）的直線方程為y-3=k（x+3）或x=-3，
∵弦長(zhǎng)為8，∴圓心到直線的距離d=3，
∴$\frac{|2+3k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3⇒k=-$\frac{8}{15}$，
又x=-3時(shí)，圓心到直線的距離也為3，
∴符合條件的直線有8x+15y-21=0或x+3=0．
變式2：圓x²+y²+4y-21=0可以變?yōu)閤²+（y+2）²=25，故其圓心為C（0，-2）
被圓截得的弦最長(zhǎng)的直線一定過(guò)圓心
故直線方程是y=$\frac{1}{3}$x-2；
整理得：x+2y-2=0；
變式3：k_CM=$\frac{1}{3}$，∴截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為y+3=-3（x+3），即3x+y+12=0；
變式4：點(diǎn)M和圓方程不變，當(dāng)直線把圓的周長(zhǎng)分為1：2兩部分時(shí)，圓心角為$\frac{2π}{3}$，圓心到直線的距離為$\frac{5}{2}$，
設(shè)直線的方程為y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，∴$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{2}$，∴11k²-24k-21=0，∴直線l的斜率k=3或-$\frac{7}{11}$；
變式5：點(diǎn)M改為（-2.5，-3），設(shè)直線的方程為y+3=k（x+2.5），即kx-y+2.5k-3=0，∴$\frac{|2.5k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{2}$，∴25k²-20k+4=0，∴直線l的斜率k=-$\frac{21}{20}$，l的方程為21x+20y+112.5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題及點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的相交弦長(zhǎng)，屬于中檔題．