Question

20．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+2ⁿ（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*）變形可知a_n+2ⁿ=3（a_n-1+2^n-1），進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n=3ⁿ-2ⁿ，進(jìn)而利用發(fā)在求和法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+2ⁿ=3（a_n-1+2^n-1），即b_n=3b_n-1，
又∵b₁=a₁+2=1+2=3，
∴數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式b_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及分組求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．