Question

11．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），則S₂₀₁₄的值為（　�。�

• A． 2014
• B． 4027
• C． $\frac{1}{4027}$
• D． $\frac{1}{2014}$

Answer 1

分析 運用a_n=S_n-S_n-1，代入化簡得出：$\frac{1}{{S}_{n}}$$-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，n≥2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，判斷出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}首項為1，公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出S_n=$\frac{1}{2n-1}$
即可得出S₂₀₁₄．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時，其前n項和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$），
化簡得出：$\frac{1}{{S}_{n}}$$-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，n≥2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
解S₂₀₁₄=$\frac{1}{4027}$，
故選：C．

點評 本題考查了運用數(shù)列的通項公式，前n項和公式的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列，求解問題，屬于中的題目．