Question

16．已知函數f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象過點（$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求φ的值；
（2）在△A BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a²+b²-c²=ab，$f（{\frac{A}{2}+\frac{π}{12}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1）代入點的坐標，由特殊角的三角函數值，即可求得所求值；
（2）運用余弦定理，可得C，再由條件可得A，運用三角形的內角和定理即可得到B，進而得到sinB．

解答 解：（1）由$f（{\frac{π}{12}}）=1$得：$sin（{\frac{π}{6}+φ}）=1$，
∵0＜φ＜π，∴$\frac{π}{6}＜\frac{π}{6}+φ＜\frac{7π}{6}$，
故$\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{3}$；
（2）∵a²+b²-c²=ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{3}$，
由（1）知：$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
∴$f（{\frac{A}{2}+\frac{π}{12}}）=sin（{{A}+\frac{π}{2}}）=cos{A}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0＜A＜π∴${A}=\frac{π}{4}$，
∵${B}=π-（{{A}+C}）=\frac{5π}{12}$
∴$sin{B}=sin\frac{5π}{12}=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查三角函數的求值，同時考查余弦定理的運用，以及誘導公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．