Question

（本題滿分12分）如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在弧AB上，且OM∥AC．

（1）求證：平面MOE∥平面PAC；

（2）求證：平面PAC⊥平面PCB；

（3）設(shè)二面角M－BP－C的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)E∥PA．

因?yàn)镻A平面PAC，OE?平面PAC，

所以O(shè)E∥平面PAC．

因?yàn)镺M∥AC，

又AC平面PAC，OM?平面PAC，

所以O(shè)M∥平面PAC．

因?yàn)镺E平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC． 4分

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC．

因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以PA⊥BC．

因?yàn)锳C平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC．

因?yàn)锽C平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC． 9分

（3）如圖，以C為原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz．

因?yàn)椤螩BA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos30°＝，AC＝1．

延長MO交CB于點(diǎn)D．

因?yàn)镺M∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝．

所以P（1,0,2），C（0,0,0），B（0，，0），M（，，0）．

所以＝（1,0,2），＝（0，，0）．

設(shè)平面PCB的法向量＝（x，y，z）．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060106183264327595/SYS201506010618515973285375_DA/SYS201506010618515973285375_DA.015.png"> 即

令z＝1，則x＝－2，y＝0．

所以＝（－2,0,1）．

同理可求平面PMB的一個法向量 ＝（1，，1）．

所以cos〈，〉＝＝－．所以cosθ＝． 12分

考點(diǎn)：本題考查面面平行的判定，面面垂直的判定，二面角的求法