Question

【題目】已知橢圓：與拋物線有公共的焦點(diǎn)，且公共弦長為，

（1）求，的值.

（2）過的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

(1)由橢圓以及拋物線的對(duì)稱性可得到交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入，可得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由有公共的焦點(diǎn)，即可得到，的值；

(2)先設(shè)：，再由直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由已知條件可得，從而可求出.

（1）∵，均關(guān)于軸對(duì)稱，∴公共弦也關(guān)于軸對(duì)稱，

∵公共弦長為，將代入，中解得與，

∴，.

∵，有公共的焦點(diǎn)，

∴，解得，.

（2），設(shè)，，，，

∵，

∴，即，.

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，顯然不成立，∴設(shè)：，

將方程代入整理得，，.

將方程代入整理得，∴，.

代入中解得，

∵，

∴.