Question

已知雙曲線(xiàn)上

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一點(diǎn)C，過(guò)雙曲線(xiàn)中心的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，記直線(xiàn)AC，BC的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)

2

k1k2

+ln（k₁k₂）最小時(shí)，雙曲線(xiàn)的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得B（-x₁，-y₁），從而得到k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，再由構(gòu)造法利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由題意知點(diǎn)A，B為過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1的交點(diǎn)，
∴由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，
∵點(diǎn)A，C都在雙曲線(xiàn)上，
∴

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
兩式相減，可得：k₁k₂=

b2

a2

＞0，
對(duì)于函數(shù)y=

2

x

+lnx（x＞0），
由y′=-

2

x2

+

1

x

=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2時(shí)，y′＞0，0＜x＜2時(shí)，y′＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=

2

x

+lnx（x＞0）取得最小值，
∴當(dāng)

2

k1k2

+ln（k₁k₂）最小時(shí)，k₁k₂=

a2

b2

=2，
∴e=

1+ b2 a2

=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，涉及到導(dǎo)數(shù)、最值、雙曲線(xiàn)、離心率等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．