Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱線長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=

2

2

．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：AC⊥BE；
（Ⅲ）三棱錐A-BEF的體積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由（棱錐的體積V=

1

3

Sh）．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)正方體中上下面平行，由面面平行的性質可證線面平行；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定與性質，可證出AC⊥BE；
（Ⅲ）設AC，BD交于點O，AO⊥平面BB₁D₁D，可分別求得S_△BEF和AO，則三棱錐A-BEF的體積可得．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，
∴EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）證明：∵在正方體中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B₁D₁DB，
∵BE?平面B₁D₁DB，∴AC⊥BE；
（Ⅲ）解：∵EF=

2

2

，∴△BEF的面積為定值

1

2

×EF×1=

2

4

，
又AC⊥平面BDD₁B₁，∴AO為棱錐A-BEF的高，AO=

2

2

∴V_A-BEF=

1

3

×

2

4

×

2

2

=

1

12

，
∴三棱錐A-BEF的體積為定值．

點評：本題考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和面面平行的性質、三棱錐的體積公式，考查了學生的空間想象能力及作圖分析能力．