Question

3．若一個(gè)四棱錐底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當(dāng)其外接球表面積最小時(shí)，它的高為（　�。�

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由四棱錐的體積為9可得到底面邊長a與高h(yuǎn)的關(guān)系，作出圖形，則球心O在棱錐的高或高的延長線上，分兩種情況根據(jù)勾股定理列出方程，解出球的半徑R的表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化為求R何時(shí)取得最小值的問題．

解答 解：設(shè)底面邊長AB=a，棱錐的高SM=h，
∵V_棱錐S-ABCD=$\frac{1}{3}$•a²•h=9，
∴a²=$\frac{27}{h}$，
∵正四棱錐內(nèi)接于球O，
∴O在直線SM上，設(shè)球O半徑為R，
（1）若O在線段SM上，如圖一，則OM=SM-SO=h-R，
（2）若O在在線段SM的延長線上，如圖二，則OM=SO-SM=R-h，
∵SM⊥平面ABCD，
∴△OMB是直角三角形，
∴OM²+MB²=OB²，
∵OB=R，MB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴（h-R）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=R²，或（R-h）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=R²
∴2hR=h²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即R=$\frac{h}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4h}$=$\frac{h}{2}$+$\frac{27}{4{h}^{2}}$=$\frac{h}{4}+\frac{h}{4}+\frac{27}{4{h}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{27}{64}}$=$\frac{9}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{h}{4}$=$\frac{27}{4{h}^{2}}$取等號(hào)，
即h=3時(shí)R取得最小值$\frac{9}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正棱錐與其外接球的結(jié)構(gòu)特征，尋找球的半徑與棱錐底面邊長的關(guān)系是解題關(guān)鍵．