Question

10．函數(shù)f（x）=x-lnx．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）請畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間和最值；
（3）求函數(shù)f（x）的區(qū)間[a，a+1]（a＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．求得定義域，即可判斷；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，畫出圖象可得單調(diào)區(qū)間和最值；
（3）對a討論，分0＜a≤1時，a＞1時，運用圖象和單調(diào)性，可得最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
理由：函數(shù)f（x）=x-lnx的定義域為（0，+∞），
不關(guān)于原點對稱，即有f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）f（x）=x-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
f（x）在x=1處取得極小值，也為最小值1．
f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
最小值為f（1）=1，無最大值；
（3）由a＞0，即有a+1＞1，當(dāng)a≤1＜a+1，即為0＜a≤1時，
f（x）在x=1處取得最小值，且為1；
當(dāng)a＞1時，f（x）在[a，a+1]遞增，即有x=a處，取得最小值a-lna．
綜上可得0＜a≤1時，f（x）的最小值為1；
a＞1時，f（x）的最小值為a-lna．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的求法，注意運用單調(diào)性和分類討論的思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．