Question

2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=sina_n（n∈N^*），則下列的說法中，正確的是（　　）

• A． {a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列
• B． {a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列
• C． {a_n}是周期數(shù)列
• D． {a_n}是常數(shù)數(shù)列

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論：sinx≤x對任意x∈[0，+∞）恒成立，再判斷該數(shù)列單調(diào)遞減．

解答 解：先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），
f'（x）=1-cosx≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
所以，f（x）單調(diào)遞增，且f（0）=0，
因此，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，
所以，sinx≤x對任意x∈[0，+∞）恒成立，僅當(dāng)x=0時(shí)，取“=”．
根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以，a_n+1=sina_n＜a_n，
即a_n+1＜a_n恒成立，所以數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，
故答案為：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，屬于中檔題．