Question

15．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=ln$\frac{a+x}{1-x}$是奇函數(shù)，命題q：集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x||x+2a|≥a，a＞0}滿足A⊆B，如果p和q有且僅有一個(gè)正確，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)求出a的范圍；再由A⊆B結(jié)合兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系求得a的范圍，最后由P正確q錯(cuò)誤；或p錯(cuò)誤q正確求得a的范圍得答案．

解答 解：若f（x）=ln$\frac{a+x}{1-x}$是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，
即$ln\frac{a-x}{1+x}+ln\frac{a+x}{1-x}=0$，∴$ln\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=0$，解得a=±1．
當(dāng)a=-1時(shí)，$\frac{-1+x}{1-x}$=-1，函數(shù)f（x）無(wú)意義．
∴a=1；
A={x||x|≤1，x∈R}={x|-1≤x≤1}，B={x||x+2a|≥a，a＞0}={x|x≤-3a或x≥-a}．
由A⊆B，得-1≥-a，即a≥1．
如果p和q有且僅有一個(gè)正確，則包括：P正確q錯(cuò)誤；或p錯(cuò)誤q正確．
若P正確q錯(cuò)誤，則a∈∅；
若p錯(cuò)誤q正確，則a＞1．
綜上，a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了由集合間的關(guān)系求字母的取值范圍，是中檔題．