Question

14．已知以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l₁：x+2y+7=0相切，切點為P，過點B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點，點M在x軸上方
（1）當(dāng)|MN|=2$\sqrt{19}$時，求直線l的方程
（2）若△PBM的內(nèi)切圓的圓心在x軸上，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式確定直線方程，
（2）設(shè)切點P（x₀，y₀），根據(jù)斜率公式以及切線的性質(zhì)，求出切點坐標(biāo)，再根據(jù)△PBM的內(nèi)切圓的圓心在x軸上，求出直線l的方程，過點A作AD⊥MN，分別根據(jù)點到直線的距離公式求出圓A的半徑和AD的長度，繼而求出以MN為直徑的圓的半徑，求出直線AD的方程和，直線l的交點坐標(biāo)即是以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出答案．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程是x=my-2或y=0，
∵d_{圓心到直線}=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{|MN|}{2}）^{2}}$=1
∴$\frac{|-1-2m+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1⇒3m²-4m=0⇒m=0或，y=0不成立，
∴直線l的方程是：x=-2或3x-4y+6=0，
（2）設(shè)切點P（x₀，y₀），則k_AP=$\frac{{y}_{0-2}}{{x}_{0}+1}$，
又k_l1=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{0-2}}{{x}_{0}+1}$•（-$\frac{1}{2}$）=-1，即y₀=2x₀+4，①
又x₀+2y₀+7=0，②，
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-3}\\{{y}_{0}=-2}\end{array}\right.$，∴P（-3，-2），又∵B（-2，0）
∴k_BP=$\frac{-2-0}{-3-（-2）}$=2，
∵△PBM的內(nèi)切圓的圓心在x軸上，
∴∠MBE=∠PBE
∴k_BM=-k_PB=-2，
∴直線L的方程為y-0=-2（x+2），即2x+y+4=0，③
∵A（-1，2），
∴R=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$，
過點A作AD⊥MN，
∴AD=$\frac{|-2+2+4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DM²=AM²-AD²=$\frac{84}{5}$，
∵k_AD•k_BM=-1，
∴k_AD=$\frac{1}{2}$，
∴直線AD的方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x+1），即x-2y+5=0，④，
由③④構(gòu)成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{13}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（-$\frac{13}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴以MN為直徑的圓的方程為（x+$\frac{13}{5}$）²+（y-$\frac{6}{5}$）²=$\frac{84}{5}$．

點評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，以及圓的方程的求法，直線方程的求法，關(guān)鍵是求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，本題的運算能力要求很高，需要認(rèn)真仔細(xì)，屬于中檔題．