Question

5．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是AB、BB₁的中點．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）設AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，求四棱錐C-A₁ABE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC₁ 交A₁C于點F，則DF為三角形ABC₁的中位線，故DF∥BC₁．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點可得CD⊥平面ABB₁A₁．求得CD的值，利用$\frac{1}{3}×\frac{（A{A}_{1}+BE）×AB}{2}×CD$運算求得結(jié)果．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC₁ 交A₁C于點F，則F為AC₁的中點．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，故DF為三角形ABC₁的中位線，故DF∥BC₁．
由于DF?平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，故有BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）解：∵AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形．
由D為AB的中點可得CD⊥平面ABB₁A₁ ，∴CD=$\sqrt{2}$．
∴四棱錐C-A₁ABE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{（A{A}_{1}+BE）×AB}{2}×CD$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2

點評 本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求三棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．