Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（cosx-sinx）•sin（$x+\frac{π}{4}$）-2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且對(duì)任意$x∈（0，\frac{π}{6}）$，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的最大值為1，最小值為-4，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 （1）先化簡(jiǎn)函數(shù)式，將函數(shù)化為sinx的二次型函數(shù)，再用分離參數(shù)法和單調(diào)性求解；
（2）討論二次函數(shù)在“動(dòng)軸定區(qū)間”上的最值，再列方程求解．

解答 解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)式可化簡(jiǎn)如下：
f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）•（cosx+sinx）-2asinx+1
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）-2asinx+1=-sin²x-2asinx+$\frac{3}{2}$，
令t=sinx（0＜t＜$\frac{1}{2}$），對(duì)任意x∈（0，$\frac{π}{6}$），恒有f（x）＞0，
即為-t²-2at+$\frac{3}{2}$＞0，分離參數(shù)得：-2a＞t-$\frac{3}{2t}$，
由t-$\frac{3}{2t}$在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，所以，t-$\frac{3}{2t}$＜$\frac{1}{2}$-3=-$\frac{5}{2}$，
因此，-2a＞-$\frac{5}{2}$，解得，0＜a＜$\frac{5}{4}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{5}{4}$）；
（2）f（x）=-sin²x-2asinx+b+$\frac{1}{2}$，令t=sinx（-1≤t≤1），
記g（t）=-t²-2at+b+$\frac{1}{2}$，圖象的對(duì)稱軸t=-a＜0，且開口向下，
①當(dāng)-a≤-1時(shí)，即a≥1，函數(shù)g（t）在[-1，1]上單調(diào)遞減，則
g（t）_max=g（-1）=-1+2a+b+$\frac{1}{2}$=1，
g（t）_min=g（1）=-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解得a=$\frac{5}{4}$，b=-1；
②當(dāng)-1＜-a＜1時(shí)，即0＜a＜1，函數(shù)g（t）在[-1，1]上先增后減，則
g（x）_max=g（-a）=$\frac{1}{2}$+b+a²=1，
g（x）_min=g（1）=-1-2a+b+$\frac{1}{2}$=-4，
解方程可得a=$\sqrt{5}$-1，b=2$\sqrt{5}$-$\frac{11}{2}$，由于a=$\sqrt{5}$-1＞1，不合題意，舍去．
綜上可得a=$\frac{5}{4}$，b=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，以及不等式恒成立問(wèn)題的解法，運(yùn)用了參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．