Question

8．已知△ABC面積為S，AB=2，AC=3，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$S，則BC=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式有S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA$，從而由條件$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}S$可以得到S$•\frac{2cosA}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{3}S$，從而可以得到tanA=$\sqrt{3}$，這便知道A=$\frac{π}{3}$，這樣在△ABC中由余弦定理即可求出BC²，從而得出BC的值．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA•\frac{2cosA}{sinA}$=$S•\frac{2cosA}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{3}S$；
∴$\frac{cosA}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
即tanA=$\sqrt{3}$；
∵0＜A＜π；
∴$A=\frac{π}{3}$；
由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=4+9-6=7；
∴$BC=\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形的面積公式，向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，切化弦公式，以及余弦定理．