Question

已知函數(shù)（a＞0，a≠1），
（1）若a＞1，且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）滿足如下性質(zhì)：若存在最大（小）值，則最大（小）值與a無關(guān)．試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令a^x=t，將“方程f（x）=m有兩個不同的正數(shù)解”轉(zhuǎn)化為：“關(guān)于t的方程有相異的且均大于1的兩根”，即關(guān)于t的方程t²-mt+2=0有相異的且均大于1的兩根，求解．
（2）根據(jù)題意有g(shù)（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根據(jù)指數(shù)函數(shù)，分①當(dāng)a＞1時，②當(dāng)0＜a＜1時，兩種情況分析，每種情況下，根據(jù)絕對值，再按照x≥0時和-2≤x＜0兩種情況討論．最后綜合取并集．
解答：解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個不同的正數(shù)解
轉(zhuǎn)化為：方程有相異的且均大于1的兩根，
∴
解得，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①當(dāng)a＞1時，
x≥0時，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0時，，g（x）=a^-x+2a^x，所以
ⅰ當(dāng)即時，對?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上遞增，
所以，
綜上：g（x）有最小值為與a有關(guān)，不符合（10分）
ⅱ當(dāng)即時，由g′（x）=0得，
且當(dāng)時，g′（x）＜0，
當(dāng)時，g′（x）＞0，
所以g（x）在上遞減，在上遞增，
所以=，
綜上：g（x）有最小值為與a無關(guān)，符合要求．
②當(dāng)0＜a＜1時，
a）x≥0時，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0時，，g（x）=a^-x+2a^x，
所以＜0，g（x）在[-2，0）上遞減，
所以，
綜上：a）b）g（x）有最大值為與a有關(guān)，不符合
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了方程的根，函數(shù)的最值等問題，還考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想．