Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c均為實(shí)數(shù)，且a≠1，c≠0．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)a=c=

1

2

，b_n=n（1-a_n），n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若0＜a_n＜1對(duì)任意的n∈N^*成立，求證：0＜c≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得an+1-1=c(an-1)，n∈N*，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（2）由已知條件推導(dǎo)出bn=n(1-a)cn-1=n(

1

2

)n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出S_n=2-

2+n

2n

．
（3）由（1）知an=(a-1)cn-1+1，由已知條件得0＜（1-a）c^n-1＜1．由此推導(dǎo)出c＞0．再用反證法證明c≤1．從而得到0＜c≤1．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），
∴an+1-1=c(an-1)，n∈N*，
又a≠1，則a-1≠0，…（2分）
∴

an+1

an-1

=c≠0，n∈N*，
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．…（3分）
（2）由（1）得an-1=(a-1)cn-1，
即an=(a-1)cn-1+1，n∈N^*．…（4分）
∴bn=n(1-a)cn-1=n(

1

2

)n，…（5分）
∴S_n=

1

2

+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，①

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1-（

1

2

）ⁿ-n（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（

1

2

）^n-1-n（

1

2

）ⁿ=2-

2+n

2n

．…（10分）
（3）由（1）知an=(a-1)cn-1+1，
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，則0＜（1-a）c^n-1＜1．
又0＜（1-a）＜1，故有0＜c^n-1＜

1

1-a

，n∈N^*，
由0＜c^n-1，n∈N^*，得c＞0．…（11分）
下證c≤1，用反證法
假設(shè)c＞1．由函數(shù)f（x）=c^x的圖象值，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，c^n-1趨于無(wú)窮大，
cn-1＜

1

1-a

，n∈N^*不能對(duì)恒成立，導(dǎo)致矛盾．
所以c≤1．
綜上所述0＜c≤1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．