Question

若關(guān)于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜4}．
（1）求關(guān)于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）關(guān)于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜4}，可知：-

1

2

，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a．再對(duì)a分類討論利用一元二次不等式的解法即可得出．
（2）關(guān)于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0恒成立，由（1）化為2mx²+（2-m）x-1＜0．當(dāng)m=0時(shí)，即可知道不滿足條件；當(dāng)m≠0時(shí)，不等式恒成立，則△＜0，解出即可．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜4}，
∴-

1

2

，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴-

1

2

×4=

4

a

，解得a=-2．
不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）即為-2mx²+（m-2）x+1＞0，化為2mx²+（2-m）x-1＜0．
當(dāng)m=0時(shí)，不等式化為2x-1＜0，解得x＜

1

2

；
當(dāng)m＞0時(shí)，不等式化為（mx+1）（2x-1）＜0，解得-

1

m

＜x＜

1

2

．
∴當(dāng)m=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜

1

2

}；
當(dāng)m＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-

1

m

＜x＜

1

2

}．
（2）關(guān)于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0恒成立，由（1）化為2mx²+（2-m）x-1＜0．
可得：當(dāng)m=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜

1

2

}，不滿足條件；
當(dāng)m≠0時(shí)，不等式恒成立，
則△=（2-m）²+8m＜0，化為（2+m）²＜0，解集為∅，
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是∅．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法、分類討論的思想方法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．