Question

已知x∈（-1，1）時(shí)，f（x）=x²-ax+

a

2

＞0恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：x∈（-1，1）時(shí)，f（x）=x²-ax+

a

2

＞0恒成立，等價(jià)于f（x）_min＞0，按照對(duì)稱軸x=

a

2

在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，區(qū)間外兩種情況進(jìn)行討論，可求得f（x）的最小值，令其大于0可求．

解答： 解：x∈（-1，1）時(shí)，f（x）=x²-ax+

a

2

＞0恒成立，等價(jià)于f（x）_min＞0，
f（x）=x²-ax+

a

2

是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸是x=

a

2

，
當(dāng)-1＜

a

2

＜1時(shí)，即：-2＜a＜2時(shí)，x=

a

2

時(shí)，f（x）取最小值．
∴只需f（

a

2

）=(

a

2

)2-a×

a

2

+

a

2

＞0，即a²-2a＜0，解得0＜a＜2，
又∵-2＜a＜2，∴0＜a＜2①；
當(dāng)對(duì)稱軸x=

a

2

不在（-1，1）時(shí)，即a≤-2或a≥2時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
只需f（-1）≥0，且f（1）≥0，
由f（-1）≥0得：1+a+

a

2

≥0，即a≥-

2

3

，
由f（1）≥0得：1-a+

a

2

≥0，即a≤2，
∴-

2

3

≤a≤2，
又∵a≤-2或a≥2，∴a=2②．
綜合①②得：0＜a≤2．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．