Question

20．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
（1）證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，判斷（x₁）-f（x₂）的符號，進而得到（x₁），f（x₂）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義即可得到答案．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值．

解答 解：（1）證明：設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
則：f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴所以f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
（2）由（1）可知f（x）在[2，7]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（7）=7+$\frac{1}{7}$=$\frac{50}{7}$．
f（x）_min=f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明和函數(shù)最值的求法，利用定義法（作差法）證明單調(diào)性的步驟是：設(shè)元→作差→分解→斷號→結(jié)論．