Question

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖，
（1）求f（x）的解析式，并求單調(diào)遞增區(qū)間
（2）若m（x）=f（x+

π

12

），n（x）=sinx，問是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使得m（x₀），n（x₀），m（x₀）×n（x₀）按某種順序排成等差數(shù)列，若存在，試確定x₀的個數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可求得A=1，

3

4

T=

13

12

π-

π

3

，利用cos（

2π

3

+φ）=0，求出φ，即可求得f（x）的解析式，并求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）依題意，當(dāng)x∈（

π

6

，

π

4

），

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cos2x＜

1

2

sinx＞cos2x＞sinxcos2x，問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)是否有解．通過G′（x）＞0，可知G（x）在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)單調(diào)遞增，而G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，從而可得答案．

解答： 解：（1）由圖象可知A=1，

3

4

T=

13

12

π-

π

3

，
∴T=π，
∴ω=2，
∴f（x）=cos（2x+φ），
∵cos（

2π

3

+φ）=0，
∴φ=kπ-

π

6

（k∈Z），
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=cos（2x-

π

6

）．
由2x-

π

6

∈[2kπ-π，2kπ]，可得單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

π，kπ+

π

12

]，（k∈Z）；
（2）m（x）=cos2x，
∵x∈（

π

6

，

π

4

），∴

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cos2x＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)是否有解．
設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)單調(diào)遞增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的圖象連續(xù)不斷，
故可知函數(shù)G（x）在（

π

6

，

π

4

）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x₀，
即存在唯一零點(diǎn)x₀∈（

π

6

，

π

4

）滿足題意．

點(diǎn)評：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．