Question

函數(shù)f（x）=1+sin²（x+θ），θ∈（0，π），其中θ滿足

a

=(sinθ，1)，

b

=(cosθ，-1)且

a

∥

b

，則f(lg2014)+f(lg

1

2014

)=

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值,函數(shù)的值,平行向量與共線向量

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)向量平行的條件列式，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出tanθ=-1，可得θ=

3π

4

，由此代入已知函數(shù)式并化簡整理，可得f（x）=

3

2

-

1

2

sin2x，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，算出lg

1

2014

=-lg2014．最后將x=lg2014與x=lg

1

2014

代入f（x）化簡后的式子，利用正弦的誘導(dǎo)公式即可算出f（lg2014）+f(lg

1

2014

)的值．

解答： 解：∵

a

=(sinθ，1)，

b

=(cosθ，-1)且

a

∥

b

，
∴sinθ×（-1）=cosθ×1，得tanθ=

sinθ

cosθ

=-1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

3π

4

，
因此f（x）=1+sin²（x+

3π

4

）=1+（

2

2

sinx-

2

2

cosx）²
=1+

1

2

（sin²x+cos²x）-sinxcosx=

3

2

-

1

2

sin2x，
∵lg

1

2014

=-lg2014，
∴f(lg

1

2014

)=f（-lg2014）=

3

2

-

1

2

sin（-2lg2014）=

3

2

+

1

2

sin（2lg2014），
又∵f（lg2014）=

3

2

-

1

2

sin（2lg2014），
∴f(lg2014)+f(lg

1

2014

)=[

3

2

+

1

2

sin（2lg2014）]+[

3

2

-

1

2

sin（2lg2014）]=3．
故答案為：3

點評：本題給出含有三角函數(shù)式為坐標(biāo)的兩個向量平行，求θ的值并依此求特殊的函數(shù)值之和．著重考查了向量平行的條件、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的奇偶性等知識，屬于中檔題．