Question

（本題12分）如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，

AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B₁C₁E

與直線AA₁的交點(diǎn)。

（1）證明：（i）EF∥A₁D₁；

（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；

（2）求BC₁與平面B₁C₁EF所成的角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；(2) BC與平面所成角的正弦值是.

【解析】本試題主要是考查了線線平行的證明，以及線面垂直的證明，以及線面角的求解。

（1）因?yàn)樵趥?cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，

AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B₁C₁E

與直線AA₁的交點(diǎn)。那么可知得到證明。

（2）先證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可。

（3）根據(jù)上一問可知線面垂直，那么利用平面的垂直，得到斜線的射影，進(jìn)而表示線面角的大小，求解得到。

（1）（i）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918120230076961/SYS201211191812513788165600_DA.files/image004.png">， 平面ADD₁ A_1，所以平面ADD₁ A_1.

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918120230076961/SYS201211191812513788165600_DA.files/image007.png">平面ADD₁ A₁₌，所以.所以.   3分

(ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918120230076961/SYS201211191812513788165600_DA.files/image011.png">，所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918120230076961/SYS201211191812513788165600_DA.files/image013.png">，所以，

在矩形中，F(xiàn)是AA的中點(diǎn)，

即.

即，故.所以平面.      4分

(2) 設(shè)與交點(diǎn)為H，連結(jié).

由（1）知，所以是與平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得

，所以BC與平面所成角的正弦值是.    5分