Question

已知△ABC中，A，B，C對邊分別為a，b，c，A，B，C成等差數列，cosA=

1

7

且a=8．
（1）求

a

b

的值；
（2）求

CA

•

CB

的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的求值

分析：（1）由A，B，C成等差數列，得到2B=A+C，再利用三角形內角和定理求出B的度數，再由cosA的值求出sinA的值，根據a，sinA，sinB的值，利用正弦定理即可求出所求式子的值；
（2）利用平面向量的數量積運算法則變形，計算即可得到結果．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差數列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∵cosA=

1

7

，
∴sinA=

1-cos2A

=

4 3

7

，
∴由正弦定理得：

a

b

=

sinA

sinB

=

4 3 7

3 2

=

8

7

；
（2）∵a=8，b=7，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

1

7

×

1

2

+

4 3

7

×

3

2

=

11

14

，
∴

CA

•

CB

=abcosC=44．

點評：此題考查了余弦定理，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．