Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x）圖象上存在2個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱f（x）為“局部中心對(duì)稱函數(shù)”．
（Ⅰ）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2ax-4（a∈R，a≠0），試判斷f（x）是否為“局部中心對(duì)稱函數(shù)”？并說明理由．
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-4為定義域R上的“局部中心對(duì)稱函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：

分析：首先要弄清兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱有什么含義，其特點(diǎn)是它們的橫軸和縱軸上的兩個(gè)點(diǎn)相加為0，在結(jié)遵照題干的新命題，按照要求去做即可．

解答： 解：（1）當(dāng)f（x）=ax²+2ax-4時(shí)，若圖象上存在2個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則方程f（-x）+f（x）=0，即ax²-4=0
當(dāng)a＞0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，a＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根
∴a＞0時(shí)，f（x）時(shí)“局部中心對(duì)稱函數(shù)”，
  a＜0時(shí)，f（x）不是“局部中心對(duì)稱函數(shù)”
（2）當(dāng)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-4時(shí)，f（-x）+f（x）=0可化為
   4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-8=0
 令t=2^x+2^-x，則t∈[2，+∞），4^x+4^-x=t²-2，
即 t²-2mt+2m²-10=0在[2，+∞）有解，
即可保證f（x）為“局部中心對(duì)稱函數(shù)”
令g（t）=t²-2mt+2m²-10
  ①當(dāng)g（2）≤0時(shí)，t²-2mt+2m²-10=0在[2，+∞）有解，
由g（2）≤0，即2m²-4m-6≤0，解得-1≤m≤3；
  ②當(dāng)g（2）＞0時(shí)，t²-2mt+2m²-10=0在[2，+∞）有解等價(jià)于
       

△=4m2-4(2m2-10)≥0 g(2)＞0，m＞2

     解得3＜m≤

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綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1＜m≤

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點(diǎn)評(píng)：這是一種常見題型，把已知的知識(shí)和新的知識(shí)結(jié)合起來．這個(gè)題的關(guān)鍵是要明白關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)它們的和的特點(diǎn)，然后把證明是否為某個(gè)命題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)是否有兩個(gè)解上來，這也是一般思路，盡量把問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的東西．