Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、2
• C、

  1

  3

• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象得到△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)對(duì)應(yīng)的直線所在位置．即可求出結(jié)論

解答： 解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長(zhǎng)：
AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
即直線x=m過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)△FAB的周長(zhǎng)最大；
此時(shí)△FAB的高為：EF=2．
此時(shí)直線x=m=c=1；
把x=1代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的方程得：y=±

3

2

．
∴AB=3．
即△FAB的面積等于：S_△FAB=

1

2

×3×EF=

1

2

×3×2=3．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問(wèn)題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關(guān)鍵在于利用定義求出周長(zhǎng)的表達(dá)式．