Question

在△ABC中，∠B=60°，O為△ABC的外心，P為劣弧AC上一動點，且

OP

=x

OA

+y

OC

（x，y∈R），則x+y的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：看能否建立關于x，y變量之間的式子，設外接圓的半徑為r，則|

OP

|=|x

OA

+y

OC

|=r，對等式兩邊平方得：|x

OA

+y

OC

|2=r2，整理便會得到x²-xy+y²=1，所以（x+y）²=3xy+1，因為P為劣弧上的點，所以x，y∈[0，1]，根據x+y≥2

xy

，所以xy≤

1

4

(x+y)2從而求出x+y的范圍．

解答： 解：∠AOC=120°，設|OA|=|OC|=|OP|=r；

∵

OP

=x

OA

+y

OC

；
∴|

OP

|=|x

OA

+y

OC

|=r；
∴|x

OA

+y

OC

|2=x2r2+2xyr2(-

1

2

)+y2r²=r²；
∴（x+y）²=3xy+1；
∵P為劣弧AC上一動點；
∴0≤x≤1，0≤y≤1；
∴x+y≥2

xy

；
∴xy≤

1

4

(x+y)2
∴1≤(x+y)2≤

3

4

(x+y)2+1
∴1≤（x+y）²≤4
∴1≤x+y≤2．
∴x+y的取值范圍為[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點評：求解本題的關鍵便是根據|

OP

|=r，對等式|x

OA

+y

OC

|=r兩邊進行平方．考查圓周角與圓心角的關系，向量的數量積，基本不等式x+y≥2

xy

(x，y≥0)．