【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)(I)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)(II)證明:若存在零點(diǎn),則的區(qū)間(1,]上僅有一個(gè)零點(diǎn)。

【答案】
(1)

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是;

f(x)在處取得極小值。


(2)

見解答


【解析】
(I)由,()得.由f(x)=0解得。
f(x)與f(x)在區(qū)間(0,+)上的情況如下:

x

(0,)

()

f'(x)

-

+

f(x)

所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是;
f(x)在處取得極小值。
(II)因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn),所以,。
當(dāng)k=e時(shí),f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減,且,
所以x=時(shí),f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,且f(1)=0,,
所以f(x)在區(qū)間(1,]上僅有一個(gè)零點(diǎn)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的基本求導(dǎo)法則和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo);一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】(2015·陜西)設(shè)fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
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